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哥德尔的完全定理恰恰证明的是罗素等人创立的一阶逻辑是完全的,系统给出了扬弃悖论的逻辑方法

时间:2020-02-27 00:17

“五四”运动后,随着马克思主义传入中国,马克思、恩格斯和列宁所创始的辩证逻辑原理及前苏联哲学家阐述辩证逻辑的著作也随之传入我国,此后它们与中国的《易经》和《道德经》为代表的中国传统辩证逻辑相融合。辩证逻辑在20世纪中国,经过30年代形式逻辑与辩证逻辑大论战,50—60年代形式逻辑与辩证逻辑大讨论和1978年真理标准大讨论以后的大发展,实现了逻辑科学化、现代化和协调化的三大变革。

一、哥德尔定理沉重的打击了谁?

BOB电竞官网,首先,实现了由一般哲学形态的辩证逻辑经特殊哲学形态的辩证逻辑科学形态辩证逻辑的科学化变革。经过30年代形式逻辑与唯物辩证法大论战,在30—40年代确立了一般哲学形态辩证逻辑。到50—60年代经过形式逻辑与辩证逻辑关系大讨论,出现了在肯定辩证逻辑与唯物辩证法和唯物主义认识论一致性的同时,强调其特殊表现形态的新观点。其一,主张辩证逻辑的思维辩证法或主观辩证法为研究对象;其二,主张辩证逻辑以辩证思维形式及其规律为研究对象。二者所主张的分别称为特殊哲学形态的辩证逻辑和逻辑科学形态的辩证逻辑。“文化大革命”中,辩证逻辑研究受到严重摧残。1978年真理标准大讨论为辩证逻辑研究的大发展开辟了道路。20世纪后期,辩证逻辑研究进入大发展时期,到1990年已发表26本以辩证逻辑命名的学术专著或高等院校教材,其中20本为逻辑科学形态的辩证逻辑,表明辩证逻辑实现了由哲学到逻辑科学的重大理论变革。

何新说,“歌德尔定理的发明,摧毁了罗素--怀特海图构建的数理逻辑大厦,迫使其放弃不包含矛盾命题的《数学原理》的写作。”

然后,实现了从非形式化辩证逻辑到形式化辩证逻辑的现代化变革。形式化是现代逻辑各分支的共同的语法和语义特征。辩证逻辑形式化是辩证逻辑现代化的基本标志。自80年代起有少数辩证逻辑学者开始发表文章,到90年代已有更多的中国学者发表相关研究成果。90年代末,中国学者已建构近20个辩证逻辑形式系统。其中多数是作为经典逻辑一致性扩充的强辩证逻辑形式系统,少数是限制经典逻辑不矛盾律或排中律等规律规则普适性的弱辩证逻辑形式系统。其中,有的辩证逻辑形式系统,既给出其形式语言、形式公理集、变形规则集,证明了若干形式定理,又给其形式公理系统作出了形式语义学解释并证明了其可靠性、协调性和完全性等元定理。这些形式系统研究成果的发表,标志着中国辩证逻辑实现了现代化变革。

何新的这一说法说明了他对逻辑学完全无知!如果何新说,罗素将数学完全逻辑化的想法失败了,那么他就说对了。如果他说,罗素自己发现的“集合论悖论”沉重的打击了罗素,那么他的说法无疑也是对的。但他偏偏说的是,“歌德尔定理的发明,摧毁了罗素--怀特海图构建的数理逻辑大厦,迫使其放弃不包含矛盾命题的《数学原理》的写作。”这是哪跟哪呀?事实是,哥德尔的完全定理恰恰证明的是罗素等人创立的一阶逻辑是完全的。哥德尔的不完全定理打击的是希尔伯特,而不是罗素。另外,关于“集合论悖论”对罗素的打击也没有那么严重——摧毁了罗素--怀特海图构建的数理逻辑大厦。事实上,“集合论悖论”,早已被公理化集合论等方案解决了。

再后,实现了从容纳悖论到扬弃悖论的协调化变革。19世纪末以来发现的集合论——语法悖论和重新发现的“说谎者”等语义悖论,造成了严重的数学危机和逻辑危机。到70年代前已提出了逻辑类型论、语言层次论、公理集合论等近10种排除悖论的解决方案。按罗素提出的令人满意地解决悖论的三个必要条件来看,它们都不能令人满意。中国强辩证逻辑学者在区别逻辑矛盾命题和辩证矛盾命题的基础上,提出了扬弃悖论的解决悖论方案。该解决方案依据逻辑语法与语义同构和逻辑表达与语法同构原则,对悖论命题作出了逻辑语义学、语法学和语用学三层次的分析,重新给出了悖论的定义、分类,揭示了悖论的本性和产生根源,系统给出了扬弃悖论的逻辑方法。扬弃悖论的方法能全部满足罗素提出的令人满意地解决悖论的三个必要条件,强辩证逻辑形式系统,既具有语义完全性,又具有语义协调性和语法协调性,全部保持了经典逻辑规律规则的普适性,达到了协调化解决悖论的目标。

大家看看下面的资料就会知道真伪:

一阶逻辑是由弗雷格建立的,罗素和怀特海完成的,也就是现今通常所说的经典二值逻辑。

数学和逻辑有着非常紧密的关系,弗雷格和罗素都是逻辑主义者,他们主张数学可以纯粹从逻辑推导出来。但当他们成功的建立了一阶逻辑之后却揭示的是,单纯从逻辑推不出数学。从几个逻辑概念和公理出发,必须再增加两个公理--无穷公理和选择公理,才能推导出康托尔集合论、一般算术和大部分的数学。

因此,数学和逻辑虽然有紧密的联系,但也并不是一码事。

希尔伯特主要研究的是数学中的证明论。他的方案是,将包含实无穷的数学理论组成一个完全形式化的公理系统,用有穷方法来研究此公理系统内的证明,如能断定此种证明不会导致逻辑矛盾,则此系统的一致性得证。

哥德尔的完全性定理 1928年希尔伯特和W.阿克曼合着的《理论逻辑基础》第一版首先把一阶逻辑分离出来并证明其一致性。同年希尔伯特在波劳亚数学会上提出逻辑演算的完全性问题。哥德尔于1929年秋完成并于1930年发表了博士论文的修改稿《逻辑谓词演算公理的完全性》,其主要内容是证明:一阶谓词演算的有效公式皆可证。同时也证明了紧致性定理和勒文海姆-司寇伦定理。(注意,哥德尔这里证明的就是一阶逻辑是完全性)他在证明里使用了J.克尼希无穷引理和古典排中律。

哥德尔的两个不完全性定理 1930年夏,哥德尔着手考虑数学分析的一致性(注意,这里研究的是数学分析的一致性,而不是一阶逻辑的问题了)。与希尔伯特不同,他想分为两个步骤进行,先用有穷方法证明数论一致,然后再用数论来论证分析的一致性。在数论方面他很快得到决定性结果,于1931年发表《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文,此文包括两个着名定理。按照第一不完全性定理,一个包括初等数论和一阶逻辑的形式系统S,如果一致,那么就是不完全的(注意这里的第一不完全性定理说的根本不是单纯一阶逻辑的问题,而是包括初等数论和一阶逻辑的更大的形式系统的S的不完全性)。在证明里,他使用了有穷观点的逻辑和原始递归算术,并通过配数法,在S中表示关于 S的语法命题。哥德尔还利用对角线法构造了一个断定其自身在S中不可证的命题 A,并且说明,A和├A在S中皆不可证。由于A和├A二者必有一真,真而不可证,因之S不完全。在证明第二个不完全性定理时,哥德尔的基本论证是,由于“系统S一致”可在S中表示,记为Con,同时 A即表示“A在S中不可证”,因之第一不完全性定理可在 S中表示为├Con可证, 那么就有├A;这显然与第一不完全性定理相矛盾,不能成立。因此,第二不完全性定理断定:如果一个包括古典数论的形式系统是一致的,则其一致性不能在此系统中得到证明,同时当然也不能用有穷方法证明(注意,哥德尔的第二不完全性定理说的是包括古典数论的形式系统,而不是一阶逻辑的问题)。这一重要的发现给希尔伯特方案以很大的冲击(注意,哥德尔的完全性定理打击的是希尔伯特,而不是何新说的罗素)。

希尔伯特方案 形成于20年代,当时他还未意识到论证古典数学一致性的本质困难,以为只要做足够的努力就可以得到所希望的结果。1931年K.哥德尔发表着名论文《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》,严格地证明了:如果一个包括初等数论的形式系统是一致的,那么其一致性不能用有穷方法甚至不能用一阶谓词演算和初等数论的方法证明。此定理给希尔伯特方案以沉重打击。希尔伯特等人随即决定将有穷方法稍加扩充,增加超穷归纳作为元数学的工具。此后不久G.根岑于1936年就用超穷归纳法证明纯粹数论的一致性。这已经不是严格意义的有穷方法了。

有穷方法和元数学 实无穷既是引起一致性问题的原因之一,古典逻辑演算也假定了实无穷,因而在论证古典数学无矛盾时,不能再用以实无穷为前提的思想方法,只能用有穷方法,否则即为循环论证。有穷方法的特征是,每一步骤只考虑确定的有穷数量的对象,承认潜无穷,而不处理任何已完成的包括无穷对象的整体。逻辑里的全称命题表达一条规律,此规律对于每一给定对象必须能得到判定。存在命题应能直接给出,或能给出其步骤有特定界限的、求得某对象的方法。排中律在某些涉及潜无穷的情况下不能适用。由于研究形式系统需要用数论,递归算术恰好就是不假定实无穷的初等数论。这样建立起来的逻辑和数论称为“元数学”。

注:在阅读上面的资料时一定要注意逻辑与数学的区别,或者按王路所说的更广泛意义上的逻辑与理论的区别。

二、哥德尔不完全性定理说明了我们还需要什么?

记得罗素好像说过,哥德尔不完全性定理说明了我们还需要归纳法。

因为,罗素等人对一阶逻辑的研究结果是,数学不能纯粹从逻辑(注意这里的逻辑是指演绎逻辑,而不包括归纳逻辑,罗素等人建立的数理逻辑是现代演绎逻辑、是经典二值逻辑)推导出来,它还需要再增加两个公理--无穷公理和选择公理,才能推导出康托尔集合论、一般算术和大部分的数学。而这两个公理我们怎样才能获得呢?在传统逻辑中,培根、穆勒的观点是,归纳法是科学发现的方法,我们获得新知识、新公理的方法只能靠归纳法。

哥德尔的不完全定理说的是,形式系统的一致性不能在此系统中得到证明。但我们可以通过增加新公理的方法、扩大原有形式系统的方式来证明,而按培根、穆勒的观点,归纳法是科学发现的方法,我们获得新知识、新公理的方法靠的是归纳法。

不过需要补充说明的是,现代归纳逻辑接受的是冯?赖特的观点。现今普遍认为,科学发现的活动可以通过很多种途径,归纳、联想、灵感、顿悟等等,这里既有逻辑因素,也有非逻辑因素。因此冯?赖特把这方面的问题划入归纳的心理学问题,而把结论的支持度问题划入归纳的逻辑学问题,这里使用的数学工具是概率论,因此现代归纳逻辑也常被称之谓概率逻辑。 按这种观点看,罗素的说法虽然有不大准确,但我们可以改造一下,即,“哥德尔不完全性定理说明了我们还需要科学发现的方法”。科学发现的方法与演绎逻辑并不是一回事。在现代,科学发现、假说的检验以及有效推理三者是有关联,但又是属于不同领域的问题。罗素深知如此,只是罗素的主要成就是在数理逻辑方面,所以有些人以数理逻辑的局限性攻击罗素,那是牛头不对马嘴。数理逻辑的局限性那是由其研究领域决定的,不同的研究领域都会有自身的局限性,这有什么好奇怪的?

三、王路与何新论歌德尔定理,逻辑学专家与大话逻辑家的对比:

(何新就是这样误导人的,本人以前也常被他这样误导,但现在终于解脱出来了)

王路论歌德尔定理(文字摘于王路《逻辑的观念》:第282-283页,说明:原文是一整段,为了阅读方便,我分成了许多个小段):

常常听到有人说,哥德尔的不完全性定理证明了形式化方法的局限性,甚至认为它极大的动摇了逻辑的基础。我认为,这是一种极不负责的批评。因为它根本就不懂现代逻辑,也完全没有明白哥德尔定理是怎么一回事。

众所周知,哥德尔定理有两个非常着名的定理,一个是完全性定理,一个是不完全性定理。简单地说,完全性定理说的是一阶逻辑是完全的,而不完全性定理说的是一阶算术是不完全的。

但是必须特别注意,这两条定理说的完全性不是一个意思。完全性定理的完全性是逻辑的完全性,而不完全性定理的完全性是理论的完全性。

对任何逻辑系统来说,都有完全性问题,就是说,一个逻辑系统要么是完全的,要么是不完全的。但是对理论说,却不一定有完全性的问题,比如群论、环论、域论等一阶理论就根本不存在是不是完全的问题。

因此,完全性定理是对于一阶逻辑本身而说的,有了它,一阶逻辑才变得成熟。因此哥德尔的这条定理对现代逻辑的发展具有重大贡献。而不完全性定理却不是对一阶逻辑而说的,而是对一阶理论而说的,有了它,形式系统的一种性质得到了深刻的揭示和刻画。因此,哥德尔的这条定理是对“形式公理学和证明论的重大发展”。

前面我们说过,现代逻辑是形式化系统,但是形式化系统不一定就是逻辑。所谓一阶理论可以是在一阶逻辑的基础上再加一些东西,因而比一阶逻辑更强。结果,一阶逻辑是完全的,而一阶理论却可以是不完全的,比如哥德尔所说的算术形式系统。

因此这里首先应该区别两个问题,一个是一阶逻辑,另一个是一阶理论,或者更一般地,一个是逻辑,一个是理论。这样才会避免上述常识性错误,才不至于会张冠李戴。

何新先生说:歌德尔定理的发明,摧毁了罗素--怀特海图构建的数理逻辑大厦,迫使其放弃不包含矛盾命题的《数学原理》的写作。但对于这一定理的逻辑意义和哲学意义,至今仍甚少被中国哲学界理解。

哥德尔数理逻辑定理的基本涵义是:

“在任何包含初等数论的形式系统中,都必定存在至少一个作为最终点或初始点的不可判定其为非自相矛盾性的命题。”

有了图灵机概念之后,上述定理的一个等价命题是:任何定理证明机器,都至少会遗漏一个最终的或初始的预设为“真”值的数学命 题不能证,这就导致数学算法的不可穷尽性。

何先生说:这一性质被许多哲学家用来作为“在机器模拟人的智能方面必定存在着某种不能超越的逻辑极限”的论据,但是其实,排除这一悖论图灵机做不到,人的智力也同样做不到。

实际上,歌德尔定理的另一种简化表达就是:在任何形式逻辑系统中,彻底无矛盾性是不可能的。换句话说,不矛盾律是受限制的,而这正是黑格尔逻辑的结论。

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